La fascinante conexión entre matemáticas y música: El Tonnetz de Euler

¡Muy buenas, amantes de la música!

Hoy vamos a sumergirnos en una joya oculta del mundo de la teoría musical a la que contribuyó uno de los mejores matemáticos de la historia: el Tonnetz de Euler.

Últimamente estoy profundizando en las conexiones entre matemáticas y música y la verdad es que no conocía esta herramienta tan útil que voy a mostrarte.

¿Qué es el Tonnetz de Euler? Un poco de historia

Primero, pongamos las cosas claras: «Tonnetz» es una palabra alemana que significa «red tonal» y es una forma geométrica de representar las relaciones entre ciertas notas, intervalos y acordes. Fue introducida por el matemático y músico Leonhard Euler en el siglo XVIII.

Leonhard Euler no solo era un genio de las matemáticas, sino también un apasionado de la música. Vivió en una época en la que la teoría musical estaba experimentando grandes avances.

Durante el siglo XVIII, se estaban formalizando muchos conceptos de la armonía y la teoría de los acordes, y los teóricos de la música buscaban maneras más precisas de describir las relaciones entre las notas y los acordes. La afinación y la teoría del temperamento también eran temas de gran debate y estudio.

Euler introdujo el Tonnetz en su obra «Tentamen novae theoriae musicae ex certissimis harmoniae principiis dilucide expositae» (Ensayo sobre una nueva teoría de la música basada en los principios más claros de la armonía), publicada en 1739. En esta obra, Euler presentó una teoría musical que intentaba explicar la estructura de la armonía de una manera lógica y sistemática.

El Tonnetz de Euler se basaba en la idea de que las relaciones entre las notas podían ser representadas como una red bidimensional. En esta red, las notas están conectadas por intervalos de quintas y terceras, formando una estructura que refleja la naturaleza armónica de estas relaciones (en los siguientes apartados vamos a ver esto en profundidad). Con ello, Euler proporcionó una herramienta que permite visualizar las conexiones entre los acordes y las notas de una manera que antes no era posible.

Aunque su trabajo no fue inmediatamente adoptado por los músicos de su tiempo, sentó las bases para futuros estudios en teoría musical y, más tarde, fue redescubierto y valorizado por teóricos del siglo XIX y XX. Hoy en día se ha ramificado en distintas áreas de estudio sumamente interesantes.

Construcción básica del Tonnetz

El Tonnetz es esencialmente una representación gráfica de las relaciones entre tonos.

Parte de la siguiente correspondencia entre geometría y música:

• 1 punto representa a una nota
• 2 puntos (segmento de recta) representan al intervalo formado por 2 notas.
• 3 puntos (es decir, un área o superficie, que en este caso son triángulos) representan un acorde formado por 3 notas.

Resumiendo, tenemos las siguientes equivalencias: punto-nota, recta-intervalo y triángulo-acorde.

Organización de las notas e intervalos

Visualizar y construir el Tonnetz desde cero puede parecer complicado al principio, pero con un poco de práctica, se vuelve mucho más claro.

Vamos a coger una nota base, por ejemplo la nota Do (C).

Ahora vamos a trazar las siguientes rectas para crear nuestro primer triángulo:

• Línea horizontal (color verde): Representa una distancia o intervalo de 5ª Justa. Es decir, si nos movemos en el Tonnetz horizontalmente sería equivalente a movernos por el círculo de quintas habitual. En nuestro ejemplo, desde la nota Do avanzaríamos a la nota Sol.
• Recta inclinada ascendente (de izquierda a derecha, color azul): Representa un intervalo de 3ª menor. En nuestro ejemplo, creamos la nota inferior Mi y el intervalo sería Mi-Sol.
• Recta inclinada descendente (de izquierda a derecha, color rojo): Representa una 3ª Mayor. En el ejemplo, se corresponde con el intervalo Do-Mi.

El triángulo central se corresponde, por tanto, con un acorde perfecto Mayor (en el ejemplo: Do-Mi-Sol). Lo hemos coloreado de color rojo porque también puede haber triángulos que representen acordes menores.

Organización de los acordes

Las líneas horizontales y sus notas correspondientes se colocan de tal forma que se vayan formando triángulos equiláteros (que representan acordes mayores o menores). Estos triángulos pueden estar orientados en dos posiciones:

• Triángulo hacia arriba (azul): Representa un acorde perfecto menor (Pm). En el siguiente ejemplo hemos creado el triángulo azul contiguo al que ya teníamos, añadiendo la nota La. Se crea el triángulo La-Do-Mi, que es el acorde de La menor.
• Triángulo hacia abajo (rojo): Representa un acorde perfecto mayor (PM).

En nuestro ejemplo, los acordes serían La menor (La-Do-Mi) y Do Mayor (Do-Mi-Sol), como ya hemos comentado.

Estos son los elementos básicos para poder construir el Tonnetz a partir de cualquier nota.

La estructura está muy pensada para intervalos de 3ª (M, m) y 5ª, así como para acordes perfectos mayores y menores, luego resulta en una herramienta muy interesante para poder analizar y «visualizar» la música tonal (cuyos grados están formados en su mayoría por estos dos acordes). Para otro tipo de acordes (como los disminuidos, aumentados,…) la visualización no es tan clara.

Estas relaciones armónicas forman un patrón de hexágonos si seguimos todas las conexiones posibles, lo cual es fascinante porque revela una simetría y estructura subyacente en la música que de otro modo no sería tan evidente.

Inversiones de los acordes

Las inversiones de un acordes pueden representarse indicando con un color distinto la nota que se sitúa en el bajo. De esta forma obtenemos tres posibles posiciones: Estado Fundamental, 1ª inversión y 2ª inversión.

En nuestro ejemplo, con el acorde de Do Mayor, serían: Do-Mi-Sol, Mi-Sol-Do y Sol-Do-Mi.

Grados armónicos y tonalidades

Si continuamos añadiendo las notas de la tonalidad de Do Mayor, por ejemplo, obtenemos el siguiente diagrama de organización de sus grados tonales (a excepción del VII grado, que es un acorde de 5ª disminuida):

El único grado que no aparece es el VII en modos mayores o el II en modos menores, ya que se trata de un acorde de 5ª dsminuida y los triángulos equiláteros del Tonnetz solo representan acordes perfectos mayores o menores. Para visualizar acordes distintos, podemos unir las notas que lo forman.

Puedes hacer esto a mano, pero también hay herramientas en línea y software que pueden ayudarte a visualizar el Tonnetz de manera interactiva.

Aplicaciones del Tonnetz

Aplicación 1: Análisis dinámico y composición musical

Para los compositores, el Tonnetz es una herramienta poderosa para explorar nuevas progresiones de acordes y modulaciones. Al visualizar las relaciones entre acordes, un compositor puede descubrir caminos inusuales o interesantes para moverse de una tonalidad a otra. Esto puede llevar a progresiones armónicas más ricas y complejas, añadiendo profundidad y emoción a la música.

A continuación dejo algunos análisis visuales dinámicos realizados a partir del Tonnetz:

Aplicación 2: Teoría y educación musical

El trabajo de Riemann y los desarrollos posteriores del Tonnetz han tenido un impacto significativo en la educación musical. Al proporcionar una forma visual e intuitiva de entender las relaciones armónicas, el Tonnetz se ha convertido en una herramienta educativa valiosa. Los estudiantes de teoría musical pueden utilizar el Tonnetz para visualizar las conexiones entre los acordes y las modulaciones, haciendo que conceptos complejos sean más accesibles y comprensibles.

Para los estudiantes de teoría musical, el Tonnetz es una forma útil de entender cómo se relacionan las notas y los acordes entre sí. En lugar de memorizar reglas abstractas, los estudiantes pueden ver estas relaciones de una manera más intuitiva. Esto facilita la comprensión de conceptos como la modulación y la armonización.

Aplicación 3: Música electrónica y algoritmos

En el ámbito de la música electrónica, el Tonnetz ha encontrado nuevas aplicaciones en la programación de algoritmos de música generativa. Los desarrolladores pueden utilizar el Tonnetz para crear algoritmos que generen progresiones armónicas interesantes y coherentes de manera automática. Esto ha llevado a la creación de software y aplicaciones musicales que ayudan a los músicos a explorar nuevas ideas y crear música de manera más eficiente.

Ampliaciones y desarrollos posteriores

Hugo Riemann, un influyente teórico musical del siglo XIX, realizó ampliaciones significativas al concepto del Tonnetz de Euler. Riemann tomó las ideas iniciales de Euler y las expandió, desarrollando un sistema más completo y aplicable para el análisis musical. Su trabajo fue crucial para la evolución de la teoría musical, y sus ideas han influido en numerosos teóricos y compositores desde entonces.

Las Ampliaciones de Hugo Riemann

1. Sistema de Representación Tridimensional: Riemann no solo se conformó con la representación bidimensional de Euler. Desarrolló la idea de una representación tridimensional del Tonnetz, donde las notas no solo se conectan por quintas y terceras, sino también por sus enarmonías y relaciones armónicas más complejas. Esto permitió un análisis más profundo y detallado de las modulaciones y las progresiones armónicas.
2. Concepto de Funciones Tonales: Uno de los mayores aportes de Riemann fue su desarrollo del concepto de funciones tonales. Riemann propuso que cada acorde tiene una función específica dentro de una tonalidad: tónica, dominante o subdominante. Esta idea revolucionó la teoría armónica y se convirtió en una base fundamental para el análisis musical. En el contexto del Tonnetz, las funciones tonales ayudan a visualizar cómo se relacionan los acordes en una progresión armónica.
3. Uso en el Análisis Musical: Riemann aplicó sus teorías del Tonnetz y las funciones tonales en el análisis de obras musicales. Utilizó estas herramientas para desglosar y explicar las estructuras armónicas de composiciones complejas, proporcionando una nueva perspectiva sobre cómo los compositores manejan la armonía y la modulación.

Desarrollos posteriores

Después de Riemann, el concepto del Tonnetz continuó evolucionando y siendo adaptado por diversos teóricos musicales. Aquí hay algunos desarrollos importantes posteriores a Riemann:

1. Teoría Neo-Riemanniana: A finales del siglo XX, la teoría neo-riemanniana surgió como una ampliación moderna de las ideas de Riemann. Esta teoría se centra en las transformaciones entre acordes, utilizando operaciones específicas para describir cómo un acorde se transforma en otro. Las tres transformaciones principales son la paralela (P), la relativa (R) y la leidiana (L). Estas transformaciones pueden ser visualizadas en el Tonnetz, proporcionando una herramienta poderosa para el análisis de la música tonal y post-tonal.
2. Aplicaciones en la Música Atonal: Aunque el Tonnetz se desarrolló originalmente para la música tonal, algunos teóricos han adaptado sus principios para analizar la música atonal. Esto ha llevado a la creación de nuevas representaciones y redes que pueden describir las relaciones entre los conjuntos de tonos en la música atonal, proporcionando un marco para entender composiciones más abstractas y modernas.
3. Software y Herramientas Interactivas: Con el avance de la tecnología, el Tonnetz ha encontrado nuevas aplicaciones en software y herramientas interactivas que permiten a los músicos y teóricos visualizar y manipular el Tonnetz de manera interactiva, facilitando el análisis y la composición musical.
4. Investigaciones Interdisciplinarias: En tiempos recientes, ha habido un interés creciente en la intersección entre la teoría musical, la matemática y la informática. Investigadores de estas disciplinas han utilizado el Tonnetz para explorar nuevas formas de entender la estructura musical, aplicar algoritmos generativos y estudiar la percepción auditiva desde una perspectiva científica.

Conclusión

Desde las ideas originales de Euler hasta las ampliaciones de Riemann y los desarrollos modernos, el Tonnetz ha evolucionado para convertirse en una herramienta fundamental en la teoría musical. Su capacidad para representar visualmente las relaciones armónicas ha transformado nuestra comprensión de la música, permitiendo a compositores, teóricos y estudiantes explorar la armonía de maneras nuevas y emocionantes.

El legado de Riemann y su trabajo en el Tonnetz sigue vivo en la teoría musical contemporánea, demostrando que las matemáticas y la música están profundamente entrelazadas, y que cada descubrimiento en uno de estos campos puede abrir nuevas puertas en el otro.

El Tonnetz de Euler es una herramienta fascinante que une la teoría musical y las matemáticas de una manera visualmente atractiva y musicalmente útil. Aunque puede parecer un concepto abstracto al principio, con un poco de práctica, se convierte en una herramienta invaluable para compositores, teóricos y estudiantes de música (diría que de una forma parecida al círculo de quintas, que parece tener una aceptación abrumadoramente mayor en conservatorios, por ejemplo).

Con este artículo intentamos aportar nuestro pequeño grano de arena para volver a generalizar este sistema en la educación musical del siglo XXI. ¡Ojalá alguna persona docente en escuelas de música lea este artículo y se sienta motivada a enseñarlo a sus alumnos/as!

Por otra parte, la próxima vez que sientas bloqueo componiendo o tratando de entender una progresión de acordes complicada, recuerda el Tonnetz. Este antiguo mapa musical podría ser justo lo que necesitas para desbloquear nuevas ideas y explorar territorios armónicos desconocidos.

¡Gracias por acompañarme en este viaje musical y matemático!

Espero que hayas disfrutado y que ahora veas la música desde una perspectiva un poco diferente. Si te ha gustado el artículo compártelo con quién quieras o deja un comentario si necesitas ayuda con cualquier punto.

¡Salud!