La «aritmética del reloj» en música: comprendiendo los grupos Z_12 y Z_7

Hoy me gustaría explicar una forma de ver las notas y escalas que se emplea para trabajar con ellas en muchos estudios.

Puede que el título del artículo te parezca complicado pero quiero tranquilizar a las personas que estáis leyendo este artículo: es muy probable que YA conozcas todo lo que vamos a ver, pero es posible que no hayas pensado conceptos como notas y escalas de forma numérica como vamos a hacer ahora.

Si conoces cómo funciona un reloj (por favor dime que sí), entonces vas a entender lo que presento en el artículo de hoy.

¡Vámonos!

Conceptos Básicos de la Aritmética Modular

Me gustaría comenzar directamente con un ejemplo sencillo.

Imagina que tienes un reloj con 12 horas o divisiones (el típico de toda la vida).

Si son las 11 y cuentas 6 horas más, ¿a qué hora llegaríamos?

Como 11+6=17 pero el reloj tiene 12 horas, tras sobrepasar el número 12 comenzaríamos de nuevo desde 0 y llegarías al número 5, ¿cierto?

Esto es porque en un reloj, después del 12, volvemos al 1.

De hecho, en un reloj, las 00:00 y las 12:00 están en el mismo punto/dirección. O, lo que es lo mismo, en un reloj las horas 0, 12, 24, 36,… serían «iguales».

Este tipo de operaciones se conocen como aritmética modular (coloquialmente «del reloj») y fue introducida por Carl Friedrich Gauss en 1801 (en su obra Disquisitiones arithmeticae).

Se basa en el concepto de que los números «vuelven» después de alcanzar un cierto valor, llamado módulo. Así, diríamos que los números anteriores (que llamábamos «iguales») son congruentes con módulo 12.

El símbolo que se emplea para congruencias es muy parecido al típico «igual»: ≡ (tres líneas horizontales en lugar de dos). Así, en el ejemplo anterior, podemos escribir: 24 ≡ 12 ≡ 0 (mod 12).

Y como solución del ejemplo: 17 ≡ 5 (mod 12).

En la teoría musical, podemos utilizar un esquema similar para entender y manipular las relaciones entre las notas y escalas.

En este artículo, veremos cómo se aplica esta «aritmética del reloj» en la música, especialmente en los grupos de 12 y 7 elementos, que corresponden a las notas de la escala cromática (todas las notas, como en un teclado completo) y la escala diatónica (las «notas blancas» del teclado, como en una escala mayor), respectivamente.

Aritmética Modular en la Música: Z_12

Si te fijas bien, el ejemplo anterior del reloj puede aplicarse fácilmente a la música, sin más que nombrar a cada nota con un número entero (incluyendo semitonos tenemos 12). De esta forma:

• Do ≡ 0
• Do # – Re b ≡1
• Re ≡ 2
• Re # – Mi b ≡ 3
• Mi ≡ 4
• Fa ≡ 5
• Fa # – Sol b ≡ 6
• Sol ≡ 7
• Sol # – La b ≡ 8
• La ≡ 9
• La # – Si b ≡ 10
• Si ≡ 11

Matemáticamente podemos escribir este conjunto de enteros {0, 1, 2, …, 11} como .

Su representación en forma de grupo cíclico sería la siguiente:

Ejemplo

Vamos a desarrollar el «ejemplo del reloj» pero aplicado al caso musical.

Imagina que estamos en la nota Si y nos movemos un intervalo de tritono (4ª aumentada o 5ª disminuida). ¿A qué nota llegaríamos? (si tienes dudas con los intervalos repasa esta guía)

Como Si se corresponde con el número 11 y un intervalo de tritono es equivalente a sumarle 6, estaríamos en el mismo caso del principio: 11+6=17 ≡ 5 (mod 12). Llegaríamos a la nota 5 (Fa).

Parece incluso más sencillo pensarlo en números que en nombres de intervalos, ¿no crees?

¡Escribe tu opinión en la sección de comentarios si te apetece!

Aritmética Modular en la Música: Z_7

Podemos crear un grupo cíclico similar al de la escala cromática (12 notas) pero con escalas diatónicas (7 notas).

es el conjunto de enteros {0, 1, 2, …, 6} bajo la operación de adición módulo 7. Cada entero representa una nota en la escala diatónica (natural).

Por ejemplo, si tomamos la escala de Do Mayor:

• Do ≡ 0
• Re ≡ 1
• Mi ≡ 2
• Fa ≡ 3
• Sol ≡ 4
• La ≡ 5
• Si ≡ 6

Aplicaciones y conclusión

Aplicando estos conceptos a ejemplos musicales reales, podemos analizar cómo se estructuran las melodías y armonías. La aritmética modular nos proporciona un marco para entender las relaciones entre las notas de una manera matemática y precisa.

La aritmética modular es una herramienta poderosa en la teoría musical, especialmente en la teoría de conjuntos. Al entender y aplicar y , podemos analizar y componer música de manera más estructurada y matemática.

Este conocimiento es fundamental para avanzar a temas más complejos, como los grupos PLR y las transformaciones T/I, que se explorarán en artículos futuros.

Gracias por leer hasta aquí.

¡Salud!

Referencias

1. Cohn, R. (1997). Neo-Riemannian Operations, Parsimonious Trichords, and Their «Tonnetz» Representations. Journal of Music Theory, 41(1), 1-66.
2. Forte, A. (1973). The Structure of Atonal Music. Yale University Press.
3. Lewin, D. (1987). Generalized Musical Intervals and Transformations. Yale University Press.
4. Tymoczko, D. (2011). A Geometry of Music: Harmony and Counterpoint in the Extended Common Practice. Oxford University Press.
5. Douthett, J., & Steinbach, P. Q. (1998). Parsimonious Graphs: A Study in Parsimony, Contextual Transformations, and Modes of Limited Transposition. Journal of Music Theory, 42(2), 241-263.
6. Hall, R. (2005). The Geometry of Musical Rhythm: What Makes a «Good» Rhythm Good?. Science, 307(5710), 1042-1044.
7. Clough, J., & Douthett, J. (1991). Maximally Even Sets. Journal of Music Theory, 35(1), 93-173.